09 (신호 및 시스템)진폭 변조(Amplitude Modulation)(2)

진폭 변조(Amplitude Modulation)

 

 

정현파의 곱셈은 통신 시스템에서 흔히 볼 수 있다. 고주파 정현파의 엔벨롭을 변조하여 데이터, 음성 또는 음악과 같은 정보 신호를 전송하는 데 사용된다. 진폭 변조는 고주파 정현파 신호를 음성이나 음악과 같은 저주파 신호로 곱하는 과정이다.

 

이것은 방송 AM 라디오에서 사용되는 기술이다. 실제로 "AM"은 진폭 변조(Amplitude Modulation)의 준말이다. AM 신호는 아래와 같은 형태의 곱셈이다.

 

x(t) = v(t) cos(2πfct)

 

여기서는 코사인 항의 주파수 (fc Hz)가 v(t)의 스펙트럼에 포함된 어떤 주파수보다 훨씬 높다고 가정한다. 라디오에서 v(t)는 전송될 음성 또는 음악 신호를 나타낸다.

 

위 수식의 코사인 파 cos(2πfct)는 캐리어 신호로, 주파수 fc는 캐리어 주파수라고 한다.

 

우리가 현재 스펙트럼에 대해 제한된 지식을 가지고 있기 때문에 위 수식의 v(t)의 형태는 유한 개의 사인파의 합인 것으로 가정한다. 그러나 v(t)의 스펙트럼의 주파수 이동을 이해하는 데는 문제 없다.

 

 

예제) 진폭 변조

만약 v(t) = 5 + 4 cos(40πt)이고 fc = 200 Hz라면, AM 신호는 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

x(t) = [5 + 4 cos(40πt)] cos(400πt)

 

여기서 신호 v(t)는 DC성분을 가지고 있다.(5)

 

x(t)에 대한 신호는 아래 그림으로 나타낼 수 있다. 여기서 높은 주파수인 200Hz를 낮은 주파수 20Hz와 곱혀져서 엔벨롭을 띄는 현상을 볼 수 있다.

 

즉, 캐리어 주파수의 파형을 낮은 주파수 20Hz로 조절 하는 것이다. 이것을 진폭 변조라고 한다.

 

** 그림 설명 : fc = 200 Hz 및 f = 20 Hz에 대한 AM 신호이다. (a) 상단 점선으로 표시된 신호 5 + 4 cos(40πt)와 시각적 편의를 위해 9배 확장된 스케일로 표시된 200 Hz 사인파 cos(400πt) (상단 그림의 실선)이 있다. (b) (a)의 두 신호의 곱으로 형성된 AM 신호(하단 실선)는 200 Hz에서 진동하지만 진폭 변화가 있다. 이러한 변화를 엔벨롭이라고 한다 (하단 점선).

 

 

AM 신호와 비트 음향 신호의 주요 차이점은 AM 엔벨롭이 일반적으로 제로 교차를 가지지 않도록 설정된다는 것이다. 위 그림과 같이 캐리어 주파수가 v(t)의 주파수와 비교할 때 매우 높은 경우, 명시적으로 엔벨롭 신호를 그리지 않고도 변조 신호 v(t)의 윤곽을 볼 수 있다.

 

이 특성은 AM 방송 수신기에서 엔벨롭 v(t)를 AM 신호 x(t)에서 복원하는 것이 목표인, 감지기 회로의 구현을 단순화 하는데 도움을 준다.

 

AM 스펙트럼

주파수 영역에서 AM 신호 스펙트럼은 설명하기 꽤 쉽다. 아래 그림에 나와 있는 것처럼, 이는 f = ±fc를 중심으로 한 v(t)의 스펙트럼의 스케일된 복사본으로 구성된다.

 

방금 말한 이론은 두 사인파의 곱셈으로 이루어진 비트 음향 신호에도 적용되며, 이는 지난시간에 한번 논의 해 보았다.

 

x(t) = [5 + 4 cos(40πt)] cos(400πt) 의

 

AM 신호 x(t)의 스펙트럼은 v(t)와 cos(400πt)를 복소 지수 A를 사용하여 나타내어 다음과 같이 유도할 수 있다.

 

$$ x(t) = v(t)(\frac{1}{2}e^{j400\pi t}+\frac{1}{2}e^{-j400\pi t})$$

$$ =(5+2^{j40\pi t}+2^{-j40\pi t})\frac{1}{2}e^{j400\pi t} +(5+2^{j40\pi t}+2^{-j40\pi t})\frac{1}{2}e^{-j400\pi t}$$

$$ x(t) = \frac{5}{2}e^{j400\pi t} + e^{j440\pi t}+e^{j360\pi t} +\frac{5}{2}e^{-j400\pi t} + e^{-j440\pi t}+e^{-j360\pi t}$$

 

v(t)는 f = 0, 20, -20 Hz에 세 개의 스펙트럼 라인이 있지만, x(t)에는 여섯 개의 스펙트럼 구성 요소가 있다. (f = 200, 220, 180 Hz 및 f = -200, -180, -220 Hz에 있다.)

 

따라서 x(t)의 스펙트럼 그래프는 두 개의 유사한 그룹을 형성하고 있다. 하나는 f = fc를 중심으로 하고 다른 하나는 f = -fc를 중심으로 한다. 각 그룹은 v(t)의 양쪽 스펙트럼의 주파수 이동(및 스케일링) 버전이다.

 

주파수 대역폭(Bandwidth)의 개념

주파수 대역폭(Bandwidth)의 개념은 신호의 스펙트럼 표현과 밀접한 관련이 있으며, 신호가 전송되거나 조작되거나 저장되는 거의 모든 응용 분야에서 상당히 중요하다.

 

가끔 우리는 신호의 스펙트럼중 일부만 사용하길 원할 때가 있다. 예를 들어 가장 높은 주파수만 골라서 사용하길 원할 때가 있다. 위 그림에 표기된 AM 신호의 경우, 가장 높은 주파수는 fc+f△가 될 것이다. 혹은 가장 높은 주파수에서 낮은 주파수까지 모두 아우를 수 있는 시스템을 설계하고 싶을 때가 있을 것이다.

 

이때 참고할 수 있는 것이 바로 대역폭이다. (이 장에서는 대역폭의 조정에 대한 이야기는 하지 않겠다.)

위 그림의 경우 신호의 대역폭은 (fc + f△) - (fc - f△) = 2f△이라고 할 수 있으며, 이 주파수 대역이 fc 주파수를 중심으로 있다.

 

대역폭 특성화는 AM 라디오 방송 시스템에서 중요한데, 각 AM 라디오 스테이션은 특정 캐리어 주파수 fc와 캐리어 주파수를 중심으로 한 대역폭 10 kHz가 할당된다.

 

이렇게 함으로써, 많은 지역 방송국이 서로 간섭하지 않고 (넓은) 공간의 대역폭을 공유할 수 있다. 이 공간의 통신 채널의 공유를 주파수 분할 다중화( frequency-division multiplexing )라고 한다.