08 (신호 및 시스템)진폭 변조(Amplitude Modulation)

들어가며..

지금까지 서로 다른 주파수의 정현파들의 합으로 나타낼 수 있는 신호를 공부하였다. 그러나 또 다른 유용한 수학적 신호 모델은 사인파의 곱이다. 서로 다른 주파수를 가진 두 사인파를 곱하면, 비트 음향(beat note)이라고 하는 흥미로운 오디오 효과를 만들어 낼 수 있다.

 

이 현상은 1~10Hz의 매우 낮은 주파수를 선정하면 잘 들을 수 있다. 실제로 일부 악기는 자연스럽게 비트음을 생성한다. 정현파의 곱셈이 사용되는 또 다른 예시는 라디오 방송이다.

 

 

이렇게 곱셈을 이용한 변조(Modulation)는 진폭 변조 (AM, Amplitude Modultation)라고 불리며, 이로 인해 일부 방송국에는 AM 라디오라는 이름이 붙는다.

 

정현파의 곱셈

두 사인파를 곱하여 생성된 신호는 스펙트럼을 얻기 위해 합의 형태로 다시 작성되어야 한다. 왜냐하면 스펙트럼은 복소 지수 신호의 선형 결합의 그래픽적 표현이기 때문이다. 다른 수학적 정현파 조합들도 스펙트럼 표현을 표시하기 위해 합의 형태로 다시 작성되어야 한다. 이는 다음 예제를 통해 설명된다.

 

예제) 주파수가 1/2 Hz와 5 Hz인 두 사인파의 곱으로 형성된 신호의 경우.

 

x(t) = cos(πt)sin(10πt)

스펙트럼을 정의하기 전에 x(t)를 합의 형태로 다시 쓰는 것이 필요하다. 한 가지 방법은 역 오일러 공식을 다음과 같이 사용하는 것이다:

 

$$ x(t) = (\frac{e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}}{2})(\frac{e^{j10\pi t}-e^{-j10\pi t}}{2})$$

$$ =\frac{1}{4}e^{-j\pi /2}e^{j11\pi t}+\frac{1}{4}e^{-j\pi /2}e^{j9\pi t}+\frac{1}{4}e^{j\pi /2}e^{-j9\pi t}+\frac{1}{4}e^{j\pi /2}e^{-j11\pi t}$$

$$\frac{1}{2}cos(11\pi t-\pi /2) + \frac{1}{2}cos(9\pi t-\pi /2) $$

 

이 풀이를 보면 ±11π 및 ±9π rad/s 주파수에서 네 개의 스펙트럼 구성 요소가 있다. 는 헤르츠로 변환하면 5.5, 4.5, -4.5 및 -5.5 Hz이다. 위 네 개 구성 요소의 크기는 (1/4)로 동일하다. 또한, x(t)를 정의하는 데 사용된 원래 주파수 (5 Hz 및 1/2 Hz) 중 어느 것도 스펙트럼에 나타나지 않는다는 점도 주목할 가치가 있다.

 

 

Beat Note Waveform

비트 음향은 거의 동일한 주파수를 가진 두 개의 동일한 진폭 정현파를 더함으로써 생성된다. 위 예제는 두 정현파의 곱이 두 개의 동일한 진폭 정현파의 합과 동일하다는 것을 시사한다. 따라서 우리는 두 개의 동일한 진폭 정현파의 합으로부터 시작하여 곱셈 형태의 스펙트럼에 대한 일반적인 관계를 유도할 수 있다.

 

x(t) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t)

 

두 코사인의 복소 지수 표현을 사용하여, 우리는 합의 형태에서 곱셈 형태로 전환할 수 있다. x(t)를 두 코사인의 곱으로 다시 작성하면, 우리는 시간 영역에서 플로팅하기 쉬운 형태를 가지게 된다. 이 플롯에서 두 주파수가 거의 동일할 때 위 수식이 비트음으로 인식되는 이유를 살펴볼 수 있다. 분석은 다음과 같이 진행된다.

 

수식 말고 구체적인 숫자를 대입해서 예시를 들어보자.

 

Fc = 200Hz, F△ = 20Hz

x(t) = 2 cos(2π(20)t) cos(2π(200)t)

 

MATLAB을 사용하여 두 코사인 파 성분과 곱셈 신호 x(t)의 시간 영역 플롯을 만들었다. 아래 그림은 위 수식에서 구성된 두 코사인 파 성분, 2 cos(2π(20)t) 및 cos(2π(200)t)을 보여준다. 비트 음향의 플롯은 먼저 2 cos(2π(20)t)와 그 음수 버전인 -2 cos(2π(20)t)를 플로팅 하여 그 안에 고주파 신호를 그린다. 이러한 경계는 신호의 Envelop이라고 한다.

 

 

 

하나의 신호는 다른 신호보다 훨씬 빠르게 변화하기 때문에 느린 신호는 빠른 신호의 천천히 변화하는 진폭으로 볼 수 있다. 그 결과로 나오는 비트 음향은 위 그림에 플로팅되어 있으며, 여기서 높은 주파수 사인파(200 Hz)를 낮은 주파수 사인파(20 Hz)로 곱하는 효과는, 높은 주파수 파형의 피크의 진폭이 변하는 것처럼 볼 수 있다.

 

이러한 신호를 스피커를 통해 재생하거나 음악 악기로 생성하면, 신호 엔벨롭이 주기적으로 상승하고 감소하므로 위 그림처럼 페이드 인 및 페이드 아웃 모양으로 보인다.

 

결과적으로 음악에서 음조의 "비트" 현상이 들리게 된다. 진폭이 한 주기 동안 두 번 상승하고 내려가므로 이러한 신호 x(t)를 들을 때 주파수 2f△ Hz로 진폭 변화가 들린다. fc가 f△보다 훨씬 높은 주파수일 때, fc Hz 근처의 음을 듣게 된다. 두 개의 악기를 동일한 음에 조율하는 데 이러한 비트 현상을 사용할 수 있다.

 

두 음이 가까울 때 비슷하지만 완전히 같지 않은 경우 비트 현상이 들린다. 한 음이 다른 음과 가까워지도록 음이 변경되면, 이 효과는 사라지고 두 악기는 "조율(in tune)"된다.