12 (신호 및 시스템)정현파 거듭제곱, 비주기신호 특징과 주파수 성분

정현파의 거듭제곱 연산

 

지금까지 각 사인파를 복소 지수 형태로 확장하여 사인파의 곱의 스펙트럼을 만들었다. 복소 지수 형태를 곱한 다음 지수를 단순화하여 각 복소 지수를 합으로 나타낼 수 있었다. 그런 다음 각 복소 진폭을 해당하는 주파수와 연관시켜 스펙트럼을 얻을 수 있었다.

 

이 같은 접근 방식은 사인파를 거듭제곱을 포함한 다른 구성에도 사용할 수 있다. 주기적인 함수를 거듭제곱하면 것은 동일하거나 더 짧은 주기를 갖는 주기적인 함수를 얻게 된다. 이 점을 설명하는 간단한 예는 아래의 사인 세제곱 신호이다.

 

$$ x(t) = sin^3(4 \pi t) $$

 

위 x(t)를 아래 형식의 복소 지수 합으로 표현하여 x(t)의 스펙트럼을 쉽게 만들어 보자. sin(·)에 대한 역 오일러 공식과 (a - b)^3에 대한 이항 전개를 사용하여 사인 세제곱 함수를 다음과 같이 합의 형태로 다시 쓸 수 있다.

 

$$x(t) = (\frac{e^{j4\pi t}-e^{-j4\pi t}}{2j})^3 $$

$$=\frac{1}{-8j}(e^{j12\pi t}-3e^{j8\pi t}e^{-j4\pi t}+3e^{-j8\pi t}e^{j4\pi t} -e^{-j12\pi t})$$

$$=\frac{j}{8}e^{j12 \pi t} + \frac{-3j}{8}e^{j4 \pi t} +\frac{3j}{8}e^{-j4 \pi t} + \frac{-j}{8}e^{-j12 \pi t}$$

 

위 수식을 보면 라디안 주파수를 가진 네개의 항의 합임을 알 수 있다. ω = ±4π 및 ω = ±12π rad/s. gcd(4, 12)π = 4π이므로 기본 주파수는 ω0 = 4π rad/s (또는 F0 = 2 Hz)이다. 위 수식의 주파수는 기본 주파수의 첫 번째와 세 번째 고조파이다. 따라서 (3.21)에서 N = 3이고 T0 = 0.5s이다.위 수식의 계수는 고조파 번호 k를 기준으로 색인화되므로 A를 인덱싱 한다.

 

$$a_k =\begin{cases}0 & k = 0\\\mp j\frac{3}{8} & k =\pm 1 \\0 & k =\pm 2 \\\pm j\frac{1}{8} & k = \pm 3\end{cases}$$

 

이제 우리는 네 개의 영이 아닌 ak 구성 요소가 -6, -2, 2, 6의 네 개의 주파수에 위치한다는 것을 알았으므로 스펙트럼을 플롯할 수 있다. 아래 그림 (b)에서는 주파수에 따른 스펙트럼이 플롯되어 있으므로 세 번째 고조파는 6 Hz에 있으며, 두 번째 고조파가 누락되었다.

 

 

**그림 설명 : (a) signal x(t) = sin^3(4πt) 의 파형,복소 지수의 합으로부터 유도된 “사인 세제곱”신호의 스펙트럼. -6에서 +6 Hz 범위만 표시되었다. 이 범위를 벗어나면 스펙트럼은 제로이다. 각 스펙트럼 선의 복소 진폭은 해당 주파수, kF0에 대한 계수 ak와 같다.

 

 

비주기 신호의 예시

일련의 비조화적(No harmonic)인 주파수로 합성되는 경우 어떤 일이 벌어질까? sinusoidal synthesis 식인 아래 수식을 생각해 보면,이러한 경우에도 주파수가 더 이상 서로의 배수가 아니기 때문에 신호는 여전히 주기적이 아닐 것이다.

 

$$ x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^N2\mid a_k \mid cos(2 \pi f_k t + \angle a_k) $$

$$= a_0 + \sum{k=1}^{N}(a_k e^{j2 \pi f_k t} + a_k^* e^{-j2 \pi f_k t})$$

 

먼저, 기본 주파수 F0 = 10 Hz를 사용하여 a1 = 1, a3 = -1/3 및 a5 = 1/5로 하모닉 신호 xh(t)를 만든다.

 

xh(t) = 2 cos(20πt) – 2/3 cos(20π(3)t) + 2/5 cos(20π(5)t) …..(1)

 

 

아래 그림(a), (b)는 xh(t)의 그림을 '스트립 차트' 형식으로 보여준다. 이 그림은 시간 신호의 2초를 담고 있는 세 개의 선으로 구성된다. 첫 번째 선은 t = 0에서 시작하고, 두 번째는 t = 2초에서, 세 번째는 4초에서 시작한다.

 

이렇게 하면 신호의 긴 부분을 볼 수 있으며, xh(t)가 기본 주기가 0.1초인 주기적인 것임을 명확히 알 수 있다. 여기서 우리의 목적으로는 주파수가 하모닉이기 때문에 신호가 주기적이며 주기가 0.1초임을 충분히 알 수 있다.

 

주파수가 조화적이지 않은 경우(Not harmonic)에 어떻게 되는지 설명하기 위해, xh(t)의 주파수와 약간 다르지만 복소진폭이 동일한 두 번째 신호를 만든다. xnh(t)를 세 개의 사인파의 합으로 정의하면:

 

xnh(t) = 2 cos(20πt) – 2/3 cos(20π(2 √ 2)t) + 2/5 cos(20π(3 √ 3)t) …..(2)

 

복소진폭은 (1)과 동일하지만 주파수는 무리수(irrational numbers)로 변경되었다(단위: Hz). 따라서 최대공약수도 없고 기본 주파수도 없다. 그림 (b)의 xnh(t) 플롯은 확실히 주기적이지 않다. 이 신호에서 정확한 반복을 찾아내려고 노력할수록, 복소진폭만 동일하고 (a)의 파형과 약간만 다른 정도로만 이해할 수 있다.

 

(c), (d)의 스펙트럼 플롯은 (a)와 (b)의 신호 간의 차이를 설명하는 데 도움이 된다. (c)에서는 주파수가 공통 주파수 F0 = 10 Hz의 정수 배수이므로 (a)의 파형은 주기적이며 주기는 T0 = 1/10 s인것을 확인할 수 있다. 반면 (b)의 파형은 주기적이지 않다. 왜냐하면 주파수가 무리수이고 약간 다르기 때문이다: 30 대신 20√2 ≈ 28.28, 50 대신 30√3 ≈ 51.96 으로 삼았다. 이러한 약간의 주파수 변화는 시간 파형에 현저한 차이를 만든다.

 

주기성을 갖기 위해서는 "주파수 영역"의 기본 주파수가 필요하다. 기본 주파수가 없음을 확인하기 위해 20√2가 p번째 고조파이고, 30√3이 q번째 고조파라고 가정해 보자. 그런 다음 비율 (20√2)/(30√3)이 유리수 p/q가 되어야 한다. 그러나 그것은 불가능하므로, 우리는 기본 주파수가 없다고 결론지을 수 있다.