07 (신호 및 시스템)주파수 스펙트럼 그리기

들어가며..

 

이전 장에서 배운 Xk와 스펙트럼 간의 관계에 대해서 설명하겠다.

 

$$\left\{(0,X_0),(f_1,\frac{1}{2}X_1),(-f_1,\frac{1}{2}X^*_1), ...,(f_k,\frac{1}{2}X_k),(-f_k,\frac{1}{2}X^*_k)\right\}..(1)$$

 

여기서는 X0를 제외하고 스펙트럼의 모든 값 Xk에 1/2가 곱해진다. 위에서 배운 수식같이 일일이 데이터를 나열하는 것은 번거롭다. 그러므로, 우리는 스펙트럼에서 복소진폭을 나타내는 새로운 기호로 ak를 도입하고 이를 다음과 같이 정의할 것이다:

 

$$a_k = \begin{cases}A_0 & k = 0\\\frac{1}{2}A_ke^{j\phi_k} & k \neq 0\end{cases}$$

 

이 수식을 이용하면 스펙트럼이 (fk, ak) 쌍의 집합임을 말할 수 있다. 이 표기 변경의 주요 동기는 나중에 푸리에 급수 계수의 공식을 증명할 때 다시 볼 것이다. 자, 이제 (1)은 아래와 같이 간단한 수식으로 쓸 수 있다.

 

$$ x(t) = \sum_{k=-N}^Na_ke^{j2\pi f_k t}$$

 

여기서 우리는 f0 = 0으로 정의한다.

 

스펙트럼 그래프

스펙트럼 그래프는 (1)과 같이 값을 배열하는 식보다 훨씬 더 유용하게 쓰일 수 있다.

각 주파수 구성 요소는 적절한 주파수에 대한 직선으로 표시될 수 있으며, 선의 길이는 |ak|의 크기(진폭)에 비례하여 그려질 수 있다.

 

$$x(t) = 10+7e^{-j\pi/3}e^{j2\pi(100)t}+7e^{j\pi/3}e^{-j2\pi(100)t}+4e^{j\pi/2}e^{j2\pi(250)t}+4e^{-j\pi/2}e^{-j2\pi(250)t} …(1)$$

위 식의 스펙트럼 그래프에 대해 논해보자.

위 수식의 스펙트럼 그래프는 아래와 같다.

신호 x(t) = 10 + 14 cos(200πt − π/3) + 8 cos(500πt + π/2)의 스펙트럼 플롯을 나타낸 그림이다. 

주파수 (f)의 단위는 Hz이다. 실제 신호에 대해서는 음수 주파수 성분이 해당하는 양의 주파수 성분의 켤레복소수(conjugate)이지만, 완전성을 위해 포함되어야 한다.

 

 

각 스펙트럼 라인은 스펙트럼을 정의하는 데 필요한 정보를 완성하기 위해 ak의 크기 값으로 지정된다. 이 간단하고 효율적인 그래프는 두 가지 지표를 쉽게 볼 수 있게 해 준다. 주파수의 상대적 위치와 정현파 구성 요소의 상대적 진폭이다.

 

이 두 가지 사실이 스펙트럼 그래프가 신호의 시각적 표현으로 널리 사용되는 이유이다. 우리가 차차 볼 것처럼, 그래프 방식을 포함한 주파수 영역 표현은 시스템이 신호에 영향을 미치는 방식을 쉽게 파악할 수 있기 때문에 매우 유용하다. 즉, 스펙트럼 표현이 라디오, 텔레비전, 휴대폰, MP3 플레이어 등과 같은 정교한 신호 처리 시스템을 이해하는 데 필수적인 이유이다.

 

위 그림과 같은 스펙트럼에서 각 음향의 주파수 구성 요소의 복소 진폭은, 해당하는 양의 주파수 구성 요소의 복소 공액이다. 이 속성을 공액 대칭이라고 한다. x(t)가 실수 신호일 때 스펙트럼은 공액 대칭이다. 이는 수식(1)의 fk와 -fk에서의 복소 회전 페이저가 반대 방향으로 회전하고 실수 신호를 형성하기 위해 결합되어야 하기 때문이다.

 

위와 같이 이루어진 신호의 스펙트럼은 종종 "선 스펙트럼"이라고 불린다. 여기서 "선"이라는 용어는 각각의 주파수에 대해 위치가 지정된 수직선으로 구성 요소를 플로팅 하기 때문이다.

 

이 용어는 광학 프리즘을 사용하여 형성된 방출 또는 흡수 스펙트럼에서 관찰되는 물리학에서 기원하였다 (광학 스펙트럼 분석기로 작동). 스펙트럼에서의 선들은 서로 다른 원자나 이온의 특성적인 파장에서 발생하는 에너지의 흡수 또는 방출에 해당한다.

이는 흰색 빛의 스펙트럼이 행성의 대기를 통해 전달되는 방식을 보여주는 아래 그림에서 설명될 수 있다.

 

 

이 그림은 특정 주파수의 흡수로 인해 흰색 빛의 스펙트럼이 수정되는 것을 보여준다. 이 예시는 신호를 조작함으로써 신호를 수정하는 방법을 신호의 스펙트럼 관점에서 쉽게 표현하고 이해할 수 있다는 것을 보여준다.

 

스펙트럼의 맥락에서, 합성(Synthesis)은 주파수 영역 표현 (즉, 스펙트럼)을 사용하여 시간 영역 표현 (즉, 파형 x(t))을 생성하는 프로세스이다.

 

반면에, 분석(Operation)은 시간 영역 신호에 대한 작업으로 주파수 영역 스펙트럼을 생성하는 것을 의미한다. 지금까지 설명한 대로, 두 작업 모두 비교적 쉬워 보이지만 임의로 선택한 신호에 대한 스펙트럼을 계산하고 그릴 일반적인 절차는 푸리에 분석을 학습해야 할 수 있다.