04 (신호 및 시스템)역 오일러 공식과 페이저 덧셈법칙, 켤레 복소수

역 오일러 공식과 켤레 복소수

 

 

역 오일러 공식을 사용하면 cos 함수를 복소 지수 함수로 표현할 수 있다.

$$ cos( \theta )$$

$$ =\frac{e^{j \theta }+e^{-j \theta }}{2} $$

 

그리고 sin 함수는 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ sin(\theta) =\frac{e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j}$$

 

위 cos 수식의 입력을 조금 더 변형하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ Acos(w_0 t+ \phi) =A(\frac{e^{(w_0t + \phi)} - e^{-j(w_0t + \phi)}}{2j})$$

$$=\frac{1}{2}Xe^{j(w_0t)} + \frac{1}{2}X^*e^{-j(w_0t)}$$

$$ = Real[z(t)]$$

여기서 ∗는 복소수 공액(켤레복소수, complex conjugation)을 나타낸다. 이 공식은 꽤 흥미롭다.

주파수 ω0를 갖는 cos 신호는 양의 주파수 (ω0) 복소 지수 함수와 음의 주파수 (−ω0) 복소 지수 함수로 구성된다는 것이다. 양의 주파수 복소 지수 함수의 복소 진폭은

$$ \frac{1}{2}X = \frac{1}{2}Ae^{j\phi}$$

이고, 음의 주파수 복소 지수 함수의 복소 진폭은

$$ \frac{1}{2}X^* = \frac{1}{2}Ae^{-j \phi}$$

이다.

 

다시 말해, 실수 코사인 신호는 서로 공액인 복소 회전 페이저들의 합으로 나타낼 수 있다. 이 페이저들은 서로의 공액이며 반대 방향으로 회전한다.

 

아래 그림은 두 개의 절반 진폭 복소 공액 회전 페이저(two half-amplitude complex conjugate rotating phasors)의 합이 Real cos 신호가 되는 방법을 보여준다. 이 경우, 제1 사분면에 있는 각도의 벡터 (파랑)는 시간 t = 0에서의 복소 회전 페이저 1/2 z(t)이다. 이 시간 이후 t가 증가하면 각도는 반시계 방향으로 증가할 것이다.

 

복소 공액 회전 페이저

 

마찬가지로, 제4 사분면에 있는 벡터 (빨강)는 시간 t = 1.5π에서의 복소 회전 페이저 1/2 z∗(t)이다. t가 증가하면 1/2 z∗(t)의 각도가 시계 방향으로 증가할 것이다.

 

초록색은 두 복소 공액 회전 페이저의 합이다. 이러한 방식으로 실수 삼각파 신호를 양의 주파수와 음의 주파수 성분으로 표현하는 것은 꽤 개념이다. 복소 지수 표현으로부터 만들어낸 음의 주파수는 신호 및 시스템 문제의 분석에서 많은 단순화를 가져다준다. 다음장에서 더 자세히 배울 것이다.

 

페이저 덧셈

종종 신호처리를 공부하다 보면 여러 개의 정현파 신호를 더하는 경우를 본다. 이는 모든 신호가 같은 주파수를 가질 때는 쉽다. 이러한 덧셈 문제는 전기 회로 분석에서 종종 보인다. 이후 언젠가 이산 시간 필터링과 주파수 응답을 공부할 때 다시 볼 것이다.

동일한 주파수가 있다는 전제 하에 서로 다른 진폭과 위상을 가진 사인파의 덧셈은 아래와 같은 명제를 가진다.

$$ \sum_{k=1}^N A_k cos(w_0 t+ \phi_k) = A cos(w_0 t+\phi)$$

 

즉, 서로 다른 진폭과 위상을 가지지만 같은 주파수를 갖는 N개의 정현파 신호의 합이 항상 동일한 주파수의 단일 정현파 신호로 간주할 수 있다고 명시할 수 있다. 이 증명은 A와 ϕ를 얻는 과정에서 유추할 수 있으며 삼각 함등식을 이용해 풀어낼 수 있다.

$$ A_k cos(w_0 t+\phi_k) = A_k cosϕ_kcos(w_0t)-A_k sin\phi_ksin(w_0t)$$

 

방금 제시한 방법으로 하면 수식이 복잡해질 수 있으나 지금까지 배운 복소 지수 함수를 이용하면 간단하게 풀어낼 수 있다.

 

복소수 덧셈

두 복소수를 더할 때는 데카르트 폼(Cartesian form)을 이용해 보자. 만약 $$z_1 = x_1+jy_1$$이고 $$z_2 = x_2 +jy_2$$이면, $$z_3 = z_1+z_2 = (x_1+x_2)+j (y_1+y_2)$$이다. (즉, 실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 더한다.). 백터를 이용해 해석하면, 아래 그림과 같다.

 

복소수 덧셈

 

페이저 덧셈 법칙

이제 코사인 신호의 페이저 표현을 사용하여 다음 수식을 증명해 보자.

$$x(t) =  \sum_{k=1}^N A_k cos(w_0 t+\phi_k) = A cos(w_0 t+\phi)$$

A와 ϕ를 얻기 위해 복소 진폭(Complex amplitude)을를 이용해 보자.

$$ \sum_{k=1}^N A_ke^{j\phi_k} = Ae^{j\phi}$$

 

즉, 서로 다른 진폭과 위상을 갖는 두 개 이상의 같은 주파수를 가진 코사인 신호의 합은 단일 등가 코사인 신호로 표현될 수 있다. cos 식의식의 우변의 결과 진폭(A)과 위상(ϕ)은 좌변의 개별 진폭(Ak)과 위상(ϕk)을 이용해 복소수 덧셈을 수행하여 계산될 수 있다. 이 방법을 페이저 합침 규칙(phasor addition rule)이라고 한다. 페이저 합침 규칙의 증명에는 다음 두 가지 정보가 필요하다:

 

(a) 모든 사인파 또는 코사인 파는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

$$ A cos(ω_0t + \phi) = Real[Ae^{j (ω_0t+\phi)}] = Real[Ae^{j\phi} e^{jω_0t}] $$

(b) 어떤 복소수 집합 {Xk}에 대해서도, 실수 부분의 합은 합의 실수 부분과 같으므로, 다음과 같다.

$$ Real[\sum_{k=1}^NX_k] = \sum_{k=1}^NReal[X_k]$$

페이저 덧셈 규칙의 증명은 다음과 같이 대수적으로 증명할 수 있다.

 

$$ \sum_{k=1}^NA_kcos(w_0t+\phi_k) = \sum_{k=1}^NReal[A_ke^{j(w_0t + \phi_k)}]$$

$$ Real[\sum_{k=1}^NA_ke^{j\phi_k}e^{jw_0t}]$$

$$ Real[(\color{blue} {\sum_{k=1}^NA_ke^{j\phi_k})}e^{jw_0t}]$$

$$ Real[(\color{blue} {Ae^{j\phi})}e^{jw_0t}] = Real[Ae^{j(w_0t+\phi)}] = Acos(w_0t + \phi)$$

 

 

이 증명에서 중요한 두 단계는 다음과 같다(파란색). 세 번째 줄에서는 모든 사인 함수가 같은 주파수를 가지므로 복소 지수함수 $$e^{jω_0t}$$를 합계에서 분리한다.

 

네 번째 줄로 넘어갈 때 핵심 단계는 위에서정의된 대로 N개의 복소 상수를 더하기 때문에 괄호 안의 합계 항을 단일 복소수 $$A^{ejϕ}$$로 대체할 수 있는 것이다.