03 (신호 및 시스템)복소 지수신호의 특성과 페이저

들어가며..

 

이번 장에서는 이전 장에서 배운 내용을 기반으로 복소 지수 신호의 특성에 대해 배울 것이다. 결론부터 말하면 복소수에 복소지수신호를 곱해주면 주파수 w0로 회전하는 신호가 된다. 자세한 내용을 살펴보자.

 

복소수 곱셈

복소지수함수의 곱셈에 들어가기 전에 복소수의 곱셈에 대한 특성을 설명하겠다. 두 복소수가 곱해지는 경우, Amplitude는 서로 곱하고 각도는 서로 더해주면 된다. 

 

예를 들어

$$z_3 = z_1z_2$$ 를 수행한다고 하자.

여기서, $$z_1 = r_1e^{jθ_1}$$

$$z_2 = r_2e^{jθ_2}$$ 로 두면

$$z_3 = r_1e^{jθ_1}r_2e^{jθ_2} = r_1r_2e^{jθ_1}e^{jθ_2}$$

$$=r_1r_2e^{j(θ_1+θ_2)}$$

$$r_1r_2 = r_3 , θ_1+θ_2 = θ_3$$

로 정리할 수 있다.

 

우리는 아래 그림을 통해 복소수 곱셈은 회전과 스케일 변화가 이루어 짐을 알 수 있다. 복소수 곱셈의 이 기하학적 관점은 복소 지수 신호를 시간이 증가함에 따라 회전하는 복소 벡터로 유용하게 해석할 수 있다.

 

복소수의 곱에 대한 각도와 스케일의 변화

 

 

복소 지수 신호의 특징 와 응용

이제 복소수의 곱셈특징을 이용하여 복소 지수 신호의 특징과 이것이 왜 유용하게 쓰이는지 이해해 보자.

 

먼저, 진폭 A와 위상 ϕ 를 사용해 복소수를 표현해 보자.

$$X = Ae^{jϕ}$$

그러면, 복소 지수함수의 일반적인 수식인

$$z(t) = Ae^{j(w0+ϕ)}= Ae^{jϕ}e^{jw0t}$$

과 비교하여 분석하였을 때,

 

$$Ae^{jϕ} = X$$로치환하여 최종적으로 수식을 정리하면

 

$$z(t)= Xe^{jw0t} = Ae^{jϕ}e^{jw0t} = Ae^{jθ(t)}$$

 

(θ (t) = ω0t + ϕ (radians))

 

이렇게 정리된 X는 복소수 진폭(complex amplitude)이라고도 불리며, 복소 지수 신호의 진폭과 위상에서 생성된 극좌표 성분을 갖는다. 복소수 진폭인 $$X = Ae^{jϕ}$$와 주파수 ω0를 함께 사용하면 z(t) 및 실수 코사인 신호인 x(t) = A cos(ω0t + ϕ)를 나타낼 수 있다. 이는 페이저(Phasor)라고도 불린다.

 

복소수 이기 때문에 X는 데카르트 좌표계에서 벡터로 시각적으로 나타낼 수 있는데, 이 벡터의 크기(|X| = A)가 진폭이고 그 각도(∠X = ϕ)가 복소 지수 신호의 위상이다.

 

각 주파수의 관점에서 고려를 해 보자. 특정 시간 t에서 복소 지수 신호 z(t)의 값은 크기가 A이고 각도가 θ(t)인 복소수이다. 모든 복소수와 마찬가지로 z(t)는 복소평면에서 벡터로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터의 끝점은 항상 반지름이 A인 원의 둘레에 위치한다.

 

이제 t가 증가함에 따라 복소 벡터 z(t)는 단순히 라디안 주파수 ω0에 의해 결정된 일정한 속도로 회전한다. 다시 말해, $$z(t) = Xe^{jω0t} $$ 수식을 다시 한번 되짚어볼 때, phasor X에 $$e^{jω0t}$$를 곱하면 phasor X가 각도 ω0t만큼 회전한다는 의미이다. 따라서 복소 지수 신호의 또 다른 이름은 회전 페이저(rotating phasor)이다.

 

주파수 ω0가 양수인 경우 회전 방향은 반시계 방향이다. 왜냐하면 시간이 경과함에 따라 θ(t)가 증가하기 때문이다. 반대로, ω0가 음수인 경우 각도 θ(t)는 시간이 증가함에 따라 음의 방향으로 변하므로 시계 방향으로 회전한다.

 

회전 페이저가 2 π Rad을 움직였을 때가 바로 한 바퀴 다 돌았을 때이다. 한번 회전을 완료하는 데 걸리는 시간은 복소 지수 신호의 주기 T0와 같다.

 

ω0T0 = (2πf0)T0 = 2π =⇒ T0 = 1 /f0

 

주파수 ϕ가 t = 0일 때 페이저가 가리키는 기본 방향을 정의한다. 이게 무슨 말이냐면, 예를 들어, 만약 ϕ = π/2이면, t = 0일 때 페이저는 수직으로 위쪽을 가리키게 되며, 반면에 ϕ = 0이면, t = 0일 때 페이저는 오른쪽을 가리키게 된다.

 

아래 신호를 탐구해 보자.

 

회전 페이저 예시

 

$$z(t) = e^{j (t−π/4)}$$ 이고 t = 1.5 π일 때, 실수 축 데이터의 값 Amplitude)를 구해보자.

 

$$x(1.5π ) = Real[z(1.5π )] = cos(1.5π − π/4) = − \sqrt{2}/2$$

 

t가 증가함에 따라, 회전하는 페이저 z(t)는 반시계 방향으로 회전하며, 그 실수 부분 x(t)은 실수 축을 따라 좌우로 진동한다. 이는 위 그래프에서 보이며, 회전하는 페이저의 실수 부분이 한 주기 동안 어떻게 변하는지를 보여준다.