푸리에 급수(Fourier Series)
이전 장의 예제들은 하모닉 관계에 있는 삼각함수들의 합을 사용하여 다양한 주기적 파형을 합성할 수 있음을 보여주었다. 이제 우리는 다음 질문을 탐구하고자 한다. "모든 주기적 신호는 하모닉 관계에 있는 삼각함수들의 합으로 합성될 수 있을까?" 지금까지 우리는 이 전장들에서 보인파형들의 플롯을 얻기 위해
$$x(t) = \sum_{k=-N}^N a_ke^{j2 \pi kF_0 t}$$
을 사용할 때 N을 유한하게 만들었다. 그러나 이제 우리는, N을 무한대로 놓으면 거의 모든 주기적 파형을 복소 지수 신호의 합으로 합성할 수 있다는 것을 증명할 것이다. 앞으로, 우리가 복소 지수의 합을 언급할 때, N이 필요에 따라 유한하거나 무한대일 수 있다고 가정할 것이다. 이것은 일반적으로 Fourier 합성 합으로 표현된다.
Fourier Synthesis Summation
$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_ke^{j(2 \pi /T_0)k t} …(1)$$
이 표기법은 유한한 경우와 무한한 경우를 모두 포함하며, 유한한 경우에는 |k| > N일 때 ak = 0으로 가정할 수 있다. 위의 수학적 표현에 대한 더 일반적인 이름은 푸리에 급수일 수 있지만, 더 명확한 용어인 푸리에 합성 합(Fourier synthesis summation)이라고도 불린다.
위 수식의 k번째 복소 지수는 주파수 fk = k/T0 Hz로, 모든 주파수가 기본 주파수 F0 = 1/T0 Hz의 정수배임을 나타낸다. 이제 우리는 어떤 주기적 신호든 하모닉 관계에 있는 삼각함수들의 합으로 합성할 수 있도록 계수 ak를 찾는 일반적인 이론을 설명하려고 한다. 이것이 푸리에 급수의 수학적 이론이다.
푸리에 급수의 분석
신호 x(t)로부터 푸리에 계수 {ak}는 푸리에 분석 적분을 사용하여 유도할 수 있다.
Fourier Analysis Integral
$$a_k = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} x(t) e^{-j(2\pi / T_0)kt}dt…(2)$$
식 (2)에서는 적분의 피적분함수로 하나의 주기를 사용하므로 T0는 x(t)의 기본 주기여야 한다. t는 적분에서의 '더미 통합 변수(dummy variable of integration)' 역할을 하며 한계값을 대체한 후 결과에서 사라진다. t는 (1)에서 독립 변수로 사용되는 기호이기도 하지만, (1)과 (2)을 함께 사용할 때 일반적으로 이러한 구분이 필요하지 않는다.
그러나 (2)를 수행한 후 변수 t가 적분 되어 k값에만 의존하는 결과가 나타나며, 시간은 (1)을 통해서만 재통합된다. 따라서 주기적 신호의 시간 영역 표현을 x(t)로, 계수 ak를 주파수 영역 표현 또는 신호의 스펙트럼 표현으로 참조하는 것이 일반적이다.
Fourier 적분식 (2)은 하나의 주기에 대해 x(t)를 정의하는 공식이 있으면 수행할 수 있다. 명확한 적분은 ak의 공식을 k의 함수로 얻기 위해 수행된다.
정류된 사인파 분석(Analysis of a Full-Wave Rectified Sine Wave)
이 섹션에서는 풀웨이브 정류된 사인 (FWRS, Full-Wave Rectified Sine Wave)이라는 신호의 푸리에 분석을 수행한다. 이 신호의 예는 아래 그림 (b)에 나와 있다. 이 신호는 DC 전원 공급 장치와 AC를 DC로 변환하는 전원 변환기에서 주로 볼 수 있다.
이러한 장치는 휴대전화, 노트북 등의 배터리를 충전하는 데 필요하다. 배터리 충전에는 일정한 DC 전류가 필요하지만, 전원 소켓에 꽂으면 AC(교류)가 제공된다. 일반적으로 사용하는 것으로는 순수한 사인파이며, 이는 제로 DC 값을 갖는다. 다이오드로 구성된 간단한 전자 회로는 사인파를 DC 성분이 있는 신호로 변환하고, 이후 필터링을 통해 정제하여 DC 전원원으로 사용될 수 있다. FWRS 신호의 수학적 공식은 사인파의 절댓값이다.
x(t) = |sin(2πt/T1)|
기본 주기 T0는 음의 로브가 절댓값 연산자에 의해 뒤집힌 후 양의 로브와 동일하기 때문에 1/2T1과 같다. 위 그림에서 설명한 것처럼. (b)에 표시된 FWRS는 연속적인 신호이지만, 그 첫 번째 도함수는 불연속적이다. 이로 인해 신호가 0인 위치 (t = 0, T0, 2T0, ...)에서 가파른 지점이 발생한다. 50 Hz AC 전력의 경우 사인파의 주기가 T1 = 0.02지만 "정류" 후 주기가 절반으로 줄어들게 되어 그림 (b)에 나와 있는 것처럼, FWRS의 기본 주파수는 F0 = 100Hz가 될 것이다.
이 경우에 대한 푸리에 적분은 다음과 같은 정적분이다.
$$ a_k = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} \mid sin(2\pi t/T_1) \mid e^{-j(2\pi / T_0)kt}dt $$
여기서 T0 = 1/2T1 이고, t가 0부터 T0까지 지정된 구간에서 Since sin(2πt/T1) ≥ 0 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$a_k = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} sin(2\pi t/T_1) e^{-j(2\pi / T_0)kt}dt$$
위 수식의 적분은 사인 함수의 역 오일러공식을 사용해 더 효율적으로 수행할 수 있으며, 이를 아래와 같이 두개의 적분의 합으로 쓸 수 있다.
$$a_k = \frac{1}{2jT_0}\int_{0}^{T_0} e^{j(2\pi / T_1)t} e^{-j(2\pi / T_0)kt}dt + \frac{-1}{2jT_0}\int_{0}^{T_0} e^{-j(2\pi / T_1)t} e^{-j(2\pi / T_0)kt}dt....(3)$$
각 적분 항은 하나의 복소 지수로 결합될 수 있으며, 그런 다음 쉽게 적분할 수 있다. T1 = 2T0이므로 위 수식의 적분항들은 다음과 같다.
$$e^{\pm j(2 \pi /2 T_0)}e^{-j(2\pi /T_0 )kt} = e^{j(\pm1-2k)(\pi /T_0)t}$$
적분은 다음과 같이 수행되고 더 단순화 될 수 있다.
$$\int_0^{T_0} e^{j(\pm1-2k)(\pi/T_0)t}dt = \frac{ e^{j(\pm1-2k)((\pi/T_0)T_0)}-1}{j(\pm1-2k)(\pi/T_0)}....(4)$$
그리고
$$e^{j(\pm1-2k)((\pi/T_0)T_0)} -1 = e^{j(\pm 1-2k)\pi } -1 = -2…(5)$$
복소 지수 함수는 그 각도가 π의 홀수 배이기 때문에 항상 -1과 같다. 왜냐하면 (±1 - 2k)는 모든 정수 k에 대해 홀수 정수이기 때문이다. 이제 (4) 및 (5)를 (1)의 두 적분에 적용하여 ak에 대한 간단한 식을 얻을 수 있다.
$$a_k = \frac{1}{2jT_0}(\frac{-2}{j(1-2k)(\pi /T_0)} - \frac{-2}{j(-1-2k)(\pi /T_0)}....(6.a)$$
$$= \frac{-2}{-2\pi (1-2k)} - \frac{-2}{-2\pi (-1-2k)}.....(6.b)$$
$$= \frac{1}{\pi(1-2k) } - \frac{1}{\pi(1+2k) }.....(6.c)$$
(6.c)의 두 항을 공통 분모로 합치면, ak의 최종 결과는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$a_k = \frac{2}{\pi (1-4k^2)}....(7)$$
이제, 우리는 FWRS를 푸리에 급수로 나타낼 수 있다.