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10 (신호 및 시스템)스펙트럼의 조작(Operation)

by Dr.햄스터 2024. 3. 25.
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스펙트럼 조작(Operation On the spectrum)

 

신호 처리에서는 보통 시간 영역 연산으로 신호 조작(Operation)한다. 스펙트럼은 주파수/복소 진폭 쌍의 집합으로 이루어져 있으므로, S = {(fk, ak)} , 시간 영역에서 신호 x(t) 작용할 주파수 {fk} 또는 복소 진폭 {ak}, 또는 다를 변경할 있다. 시간 영역 연산과 스펙트럼 변화 사이의 대응은 일반적으로 스펙트럼 표현의 특성이라고 한다. 섹션에서는 스펙트럼 조작 특성의 여러 예를 제시한다.

 

상수 스케일링 혹은 상수 더하기

신호 x(t) 스케일 인자 γ 곱하는 경우, 스펙트럼 내의 모든 복소 진폭은 동일한 스케일 인자(γ) 곱해진다.

 

$$\gamma x(t) = \gamma\sum_{k=-M}^M a_k e^{j2\pi f_k t} = \sum_{k=-M}^M(\gamma a_k)e^{j2\pi f_k t}$$

 

 

그러나 모든 주파수값은 변경하지 않고 그대로 둔다. 반면에, 신호 x(t) 상수 c 더하는 경우, 하나의 주파수 (f = 0)에서만 복소 진폭이 변경된다. 아래 수식을 보자.

$$x(t) +c = \sum_{f_k\neq0}^{}a_k e^{j2\pi f_kt} +a_0e^{j2\pi (0)t}+c$$

 

여기서 $$ a_0e^{j2\pi (0)t}+c$$ 새로운 DC값이다.

 

예시를 하나 들어보자.

y(t) = 2x(t) + 6이고, x(t) = 3/2 + 6 cos(6πt π/3) + 4 cos(14πt + π/4) 일 때, x(t)의 스팩트럼은 아래 그림의 (a)와 같다. 그리고 y(t)(c)와 같다. f = ±3와 ±7에서의 복소진폭은 그림 (a)에서 보이는 것처럼 대칭을 이룬다. 그림 (c)는 그림 (a)에서 주파수 성분이 있는 항에 곱하기 2를 해준 것이다. 그림(b)는 DC성분 6만 플로팅 한 그래프이다. 그림(c)에서의 DC값은 2(1.5)+6 = 9이다.

 

신호 더하기

다음과 같은 새로운 간단한 신호 조작(Operation) 살펴보자. x1(t) + x2(t)

원칙적으로, x1(t) 스펙트럼은 x2(t) 스펙트럼에 더해진다. 왜냐하면,

$$x1(t)+x2(t) = \sum_{f_{1k}}^{}a_{1k} e^{j2\pi f_{1k}t} +\sum_{f_{2l}}^{}a_{2l} e^{j2\pi f_{2l}t}$$

 

여기서 $$(f_{1k}, a_{1k}) , (f_{2k}, a_{2k})$$ 각각 x1(t) x2(t) 주파수와 복소 진폭이다. 만약 스펙트럼에 $$f = f_{1k} = f_{2k}$$ 대응하는 스펙트럼 라인이 개의 스펙트럼에 모두 존재한다면, 해당하는 복소 진폭인  $$a_{1k}, a_{2k} = a_{1k}$$ 페이저 덧셈으로 합해져야 한다. 다른 경우는 스펙트럼 하나에만 존재하는 스펙트럼 라인이다. 경우, 더할 것이 없으므로 스펙트럼 라인은 변화 없이 합계 신호의 스펙트럼의 일부가 된다.

 

x(t) 시간이동

우리가 x(t) 시간 이동하여 새로운 신호 y(t) 형성한다면, 주파수는 그대로 유지되지만, 스펙트럼의 복소진폭에는 위상 변화가 있다.

$$y(t) = x(t-\tau_d) \leftrightarrow b_k = a_k e^{-j2 \pi f_k \tau_d}$$

왜냐하면

$$y(t) = x(t - \tau_d)= \sum_k^{} a_k e^{j 2 \pi f_k (t - \tau_d)}  =\sum_k^{}(a_k e^{-j 2 \pi f_k \tau_d})e^{j 2 \pi f_k t}$$

 

인데, 여기서

$$a_k e^{-j 2 \pi f_k \tau_d} = b_k$$

 

 이기 때문이다.

 

 

x(t) 미분


신호 x(t) 미분하여 새로운 신호 y(t) 형성하면, 주파수는 그대로 유지되지만, y(t) 스펙트럼의 복소진폭은 다음과 같이 얻을 있다:

$$y(t) = \frac{d}{dt}x(t)\leftrightarrow b_k = (j2\pi f_k)a_k$$


x(t) 스펙트럼의 항목에 도함수 연산자를 적용하여 항목의 도함수를 얻을 있다.

$$y(t) = \frac{d}{dt}x(t) =\sum_k^{}a_k\frac{d}{dt}e^{j 2\pi f_k t} = \sum_k^{}(j 2\pi f_k)a_k e^{j 2\pi f_k t}$$

 

여기서

$$ (j2\pi f_k) = b_k$$

 로 정리한다.

 

주파수 이동

신호를 사인파 또는 복소 지수함수로 곱하면 스펙트럼 내의 주파수가 간단하고 예측 가능한 방식으로 변경된다. 이제 주파수가 fc Hz 복소 지수함수 $$Ae^{j \phi}e^{j2\pi f_c t}$$ 곱해진 신호 x(t) 유도 과정을 살펴보겠다.

 

$$ y(t) = Ae^{j \phi }e^{j 2\pi f_c t}\sum_k^{}a_ke^{j2\pi f_kt} $$ 

$$y(t) = \sum_k^{}(a_kAe^{j\phi})e^{j2\pi (f_k +f_c)t}$$

 

수식의 해석은 y(t) 스펙트럼 집합이 $$S_y = \left\{(f_k +f_c,a_k Ae^{j\phi})\right\}$$임을 의미한다. 이는 x(t) 모든 주파수가 fc만큼 우측으로 이동되고(fc > 0 경우), 복소 지수 함수의 복소 진폭과 모든 복소 진폭이 곱해진다는 것을 의미한다.

 

스펙트럼의 주파수 이동 행동을 그래프로 표현하는 것은 간단하다. 아래 그림의 (b) fc = 9, A = 1 ϕ = 0 복소 지수함수로 곱해진 신호의 스펙트럼을 보여준다. (a) x(t) 스펙트럼은 일곱 개의 스펙트럼 라인을 가지며, 켤레 대칭이기 때문에 x(t)실수이다. $$x(t)ej^{2π(9)t}$$의 신호는 동일한 일곱 개의 스펙트럼 라인으로 구성된 스펙트럼을 가지지만, 주파수가 f = 9 Hz 중심으로 이동되었다. 신호는 이제 실수가 아니며, 스펙트럼은 켤레 대칭 속성을 따르지 않는다.


x(t) 신호가 실수인 삼각함수 A cos(2πfct + ϕ) 곱해지는 경우, 주파수 이동 개념을 적용해야 한다.

 

$$y(t) = x(t)A cos(2\pi f_ct + \phi) = x(t) \frac{1}{2}Ae^{j\phi}e^{j2\pi f_ct} + x(t) \frac{1}{2}Ae^{−j\phi}e^{−j2\pi f_ct}$$

 

수식의 번째 항은 x(t) 모든 주파수를 fc만큼 증가시키며, 이는 오른쪽으로 주파수 이동을 의미한다(아래 그림(b) 참조); 수식의 번째 항은 x(t) 모든 주파수를 fc만큼 감소시키며, 이는 왼쪽으로 주파수 이동을 의미한다.

 

복소 진폭은 다음과 같이 변경된다:

fc만큼 증가한 스펙트럼 선에 대한 새로운 복소 진폭은 $$a_k(\frac{1}{2}Ae^{j\phi})$$이다. 감소한 선에 대한 새로운 복소 진폭은$$a_k(\frac{1}{2}Ae^{-j\phi})$$, 위상 변화가 반대이다.

 

 

그림 (c)에서 x(t)sin(2π(9)t) 신호에 대한 주파수 이동이 보여진다. 이는 x(t) cos(2π(9)t − 1/2π ) 동일하다. 그림 (a) x(t) 스펙트럼이 9 Hz만큼 올려질 , 복소 진폭은 $$\frac{1}{2}e^{-j \pi/2} = -j \frac{1}{2}$$ 곱해진다. 예를 들어, 그림 (a)에서 f = 3 있는 스펙트럼 선은 복소 진폭이 j6이며, 그림 (c)에서 f = 12 이동되어 복소 진폭이 (j6)(−j 1/2 ) = 3 된다. 그림 (a) x(t) 스펙트럼이 9 Hz만큼 내려갈 , 복소 진폭은 $$\frac{1}{2}e^{+j \pi /2} = j\frac{1}{2}$$로 곱해진다. 그럼 그림(a) f = 3 있는 스펙트럼 선은 그림 (c)에서 f = −6으로 이동되어 복소 진폭이 (j6)(j 1/2 ) = −3이다.

 

모든 스펙트럼 선이 주파수로 이동되고 복소 진폭이 $$\frac{1}{2}Ae^{\pm j\phi}$$ 곱해진 후에는, 복소 공압의 공액 대칭성을 확인할 있다. x(t)sin(2π(9)t) 신호가 실수이므로 그림 (c)에서 공액 대칭성이 성립해야 한다.

 

마지막으로, fc x(t) 스펙트럼에서 가장 주파수보다 , 올려 올려진 스펙트럼과 내려간 스펙트럼이 서로 겹치지 않는다. 이것이 그림(c) 경우이며, 이렇게 되면 그래프를 그리기 쉬워진다.

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