스펙트럼 조작(Operation On the spectrum)
신호 처리에서는 보통 시간 영역 연산으로 신호 조작(Operation)한다. 스펙트럼은 주파수/복소 진폭 쌍의 집합으로 이루어져 있으므로, S = {(fk, ak)}일 때, 시간 영역에서 신호 x(t)에 작용할 때 주파수 {fk} 또는 복소 진폭 {ak}, 또는 둘 다를 변경할 수 있다. 시간 영역 연산과 스펙트럼 변화 사이의 대응은 일반적으로 스펙트럼 표현의 특성이라고 한다. 이 섹션에서는 스펙트럼 조작 특성의 여러 예를 제시한다.
상수 스케일링 혹은 상수 더하기
신호 x(t)에 스케일 인자 γ 를 곱하는 경우, 그 스펙트럼 내의 모든 복소 진폭은 동일한 스케일 인자(γ)로 곱해진다.
$$\gamma x(t) = \gamma\sum_{k=-M}^M a_k e^{j2\pi f_k t} = \sum_{k=-M}^M(\gamma a_k)e^{j2\pi f_k t}$$
그러나 모든 주파수값은 변경하지 않고 그대로 둔다. 반면에, 신호 x(t)에 상수 c를 더하는 경우, 하나의 주파수 (f = 0)에서만 복소 진폭이 변경된다. 아래 수식을 보자.
$$x(t) +c = \sum_{f_k\neq0}^{}a_k e^{j2\pi f_kt} +a_0e^{j2\pi (0)t}+c$$
여기서 $$ a_0e^{j2\pi (0)t}+c$$ 는 새로운 DC값이다.
예시를 하나 들어보자.
y(t) = 2x(t) + 6이고, x(t) = 3/2 + 6 cos(6πt − π/3) + 4 cos(14πt + π/4) 일 때, x(t)의 스팩트럼은 아래 그림의 (a)와 같다. 그리고 y(t)는 (c)와 같다. f = ±3와 ±7에서의 복소진폭은 그림 (a)에서 보이는 것처럼 대칭을 이룬다. 그림 (c)는 그림 (a)에서 주파수 성분이 있는 항에 곱하기 2를 해준 것이다. 그림(b)는 DC성분 6만 플로팅 한 그래프이다. 그림(c)에서의 DC값은 2(1.5)+6 = 9이다.
신호 더하기
다음과 같은 새로운 간단한 신호 조작(Operation)을 살펴보자. x1(t) + x2(t)
원칙적으로, x1(t)의 스펙트럼은 x2(t)의 스펙트럼에 더해진다. 왜냐하면,
$$x1(t)+x2(t) = \sum_{f_{1k}}^{}a_{1k} e^{j2\pi f_{1k}t} +\sum_{f_{2l}}^{}a_{2l} e^{j2\pi f_{2l}t}$$
여기서 $$(f_{1k}, a_{1k}) , (f_{2k}, a_{2k})$$는 각각 x1(t)와 x2(t)의 주파수와 복소 진폭이다. 만약 스펙트럼에 $$f = f_{1k} = f_{2k}$$에 대응하는 스펙트럼 라인이 두 개의 스펙트럼에 모두 존재한다면, 해당하는 복소 진폭인 $$a_{1k}, a_{2k} = a_{1k}$$는 페이저 덧셈으로 합해져야 한다. 다른 경우는 두 스펙트럼 중 하나에만 존재하는 스펙트럼 라인이다. 이 경우, 더할 것이 없으므로 스펙트럼 라인은 변화 없이 합계 신호의 스펙트럼의 일부가 된다.
x(t)의 시간이동
우리가 x(t)를 시간 이동하여 새로운 신호 y(t)를 형성한다면, 주파수는 그대로 유지되지만, 스펙트럼의 복소진폭에는 위상 변화가 있다.
$$y(t) = x(t-\tau_d) \leftrightarrow b_k = a_k e^{-j2 \pi f_k \tau_d}$$
왜냐하면
$$y(t) = x(t - \tau_d)= \sum_k^{} a_k e^{j 2 \pi f_k (t - \tau_d)} =\sum_k^{}(a_k e^{-j 2 \pi f_k \tau_d})e^{j 2 \pi f_k t}$$
인데, 여기서
$$a_k e^{-j 2 \pi f_k \tau_d} = b_k$$
이기 때문이다.
x(t)의 미분
신호 x(t)를 미분하여 새로운 신호 y(t)를 형성하면, 주파수는 그대로 유지되지만, y(t)의 스펙트럼의 복소진폭은 다음과 같이 얻을 수 있다:
$$y(t) = \frac{d}{dt}x(t)\leftrightarrow b_k = (j2\pi f_k)a_k$$
x(t)의 스펙트럼의 각 항목에 도함수 연산자를 적용하여 각 항목의 도함수를 얻을 수 있다.
$$y(t) = \frac{d}{dt}x(t) =\sum_k^{}a_k\frac{d}{dt}e^{j 2\pi f_k t} = \sum_k^{}(j 2\pi f_k)a_k e^{j 2\pi f_k t}$$
여기서
$$ (j2\pi f_k) = b_k$$
로 정리한다.
주파수 이동
신호를 사인파 또는 복소 지수함수로 곱하면 스펙트럼 내의 주파수가 간단하고 예측 가능한 방식으로 변경된다. 이제 주파수가 fc Hz인 복소 지수함수 $$Ae^{j \phi}e^{j2\pi f_c t}$$로 곱해진 신호 x(t)의 유도 과정을 살펴보겠다.
$$ y(t) = Ae^{j \phi }e^{j 2\pi f_c t}\sum_k^{}a_ke^{j2\pi f_kt} $$
$$y(t) = \sum_k^{}(a_kAe^{j\phi})e^{j2\pi (f_k +f_c)t}$$
위 수식의 해석은 y(t)의 스펙트럼 집합이 $$S_y = \left\{(f_k +f_c,a_k Ae^{j\phi})\right\}$$임을 의미한다. 이는 x(t)의 모든 주파수가 fc만큼 우측으로 이동되고(fc > 0인 경우), 복소 지수 함수의 복소 진폭과 모든 복소 진폭이 곱해진다는 것을 의미한다.
스펙트럼의 이 주파수 이동 행동을 그래프로 표현하는 것은 간단하다. 아래 그림의 (b)는 fc = 9, A = 1 및 ϕ = 0인 복소 지수함수로 곱해진 신호의 스펙트럼을 보여준다. (a)의 x(t)의 스펙트럼은 일곱 개의 스펙트럼 라인을 가지며, 켤레 대칭이기 때문에 x(t)는실수이다. $$x(t)ej^{2π(9)t}$$의 신호는 동일한 일곱 개의 스펙트럼 라인으로 구성된 스펙트럼을 가지지만, 주파수가 f = 9 Hz를 중심으로 이동되었다. 이 신호는 이제 실수가 아니며, 그 스펙트럼은 켤레 대칭 속성을 따르지 않는다.
x(t) 신호가 실수인 삼각함수 A cos(2πfct + ϕ)로 곱해지는 경우, 주파수 이동 개념을 두 번 적용해야 한다.
$$y(t) = x(t)A cos(2\pi f_ct + \phi) = x(t) \frac{1}{2}Ae^{j\phi}e^{j2\pi f_ct} + x(t) \frac{1}{2}Ae^{−j\phi}e^{−j2\pi f_ct}$$
위 수식의 첫 번째 항은 x(t)의 모든 주파수를 fc만큼 증가시키며, 이는 오른쪽으로 주파수 이동을 의미한다(아래 그림(b) 참조); 위 수식의 두 번째 항은 x(t)의 모든 주파수를 fc만큼 감소시키며, 이는 왼쪽으로 주파수 이동을 의미한다.
복소 진폭은 다음과 같이 변경된다:
fc만큼 증가한 스펙트럼 선에 대한 새로운 복소 진폭은 $$a_k(\frac{1}{2}Ae^{j\phi})$$이다. 감소한 선에 대한 새로운 복소 진폭은$$a_k(\frac{1}{2}Ae^{-j\phi})$$로, 위상 변화가 반대이다.
그림 (c)에서 x(t)sin(2π(9)t) 신호에 대한 두 주파수 이동이 보여진다. 이는 x(t) cos(2π(9)t − 1/2π )와 동일하다. 그림 (a)의 x(t)의 스펙트럼이 9 Hz만큼 올려질 때, 복소 진폭은 $$\frac{1}{2}e^{-j \pi/2} = -j \frac{1}{2}$$ 로 곱해진다. 예를 들어, 그림 (a)에서 f = 3에 있는 스펙트럼 선은 복소 진폭이 j6이며, 그림 (c)에서 f = 12로 이동되어 복소 진폭이 (j6)(−j 1/2 ) = 3 이 된다. 그림 (a)의 x(t) 스펙트럼이 9 Hz만큼 내려갈 때, 복소 진폭은 $$\frac{1}{2}e^{+j \pi /2} = j\frac{1}{2}$$로 곱해진다. 그럼 그림(a)의 f = 3에 있는 스펙트럼 선은 그림 (c)에서 f = −6으로 이동되어 복소 진폭이 (j6)(j 1/2 ) = −3이다.
모든 스펙트럼 선이 주파수로 이동되고 그 복소 진폭이 $$\frac{1}{2}Ae^{\pm j\phi}$$로 곱해진 후에는, 복소 공압의 공액 대칭성을 확인할 수 있다. x(t)sin(2π(9)t) 신호가 실수이므로 그림 (c)에서 공액 대칭성이 성립해야 한다.
마지막으로, fc가 x(t)의 스펙트럼에서 가장 큰 주파수보다 클 때, 올려 올려진 스펙트럼과 내려간 스펙트럼이 서로 겹치지 않는다. 이것이 그림(c)의 경우이며, 이렇게 되면 그래프를 그리기 더 쉬워진다.